Cilj predavanja je da se prikažu osnovni rezultati Remzijeve teorije. U prvom delu podsećamo se Dirihleovog principa i koristimo ga u dokazu Remzijeve teoreme u najjednostavnijem obliku. To nam omogućuje da damo definiciju Remzijevog broja, te se u nastavku zabavljamo sa do sada poznatim ograničenjima pomenutog izuzetno nepristupačnog broja. Donje netrivijalno ograničenje koje dajemo, u dokazu koristi moćan verovatnosni metod (probabilistic method). Nakon toga navodimo nekoliko uopštenja osnovne verzije Remzijeve teoreme (verzija sa više boja, verzija kada bojimo k-točlane podskupove i kombinacija prethodna dva) i jedno od njih koristimo u dokazu Happy endding problema. Za kraj prvog dela navodimo beskonačnu verziju Remzijeve teoreme. U drugom delu se bavimo klasičnim rezultatima Remzijeve teorije na prirodnim brojevima. Navodimo bez dokaza Van der Waerden-ovu teoremu i dajemo neka poznata ograničenja Van der Waerdenovih brojeva. Nakon toga dokazujemo Šurovu teoremu i navodimo još nekoliko poznatih Remzi rezultata.

Materijale sa predavanja možete preuzeti ovde.

Na početku predavanja prikazani su primeri nekih orijentabilnih i neorijentabilnih dvodimenzionih površi, smeštenih u trodimenzioni prostor. Objašnjena je razlika između unutarnje i spoljnje topologije. Uz koriščenje trijangulacije površi, izveden je dokaz o klasifikaciji prostih zatvorenih površi. U daljem toku predavanja, dokazana je poboljšana verzija teoreme, koja tvrdi da naša podela na površi homeomorfne sa sferama sa ručkama, uštinutim ručkama i uštinutim kapama, može da se svede na podelu sfere sa ručkama i uštinutim kapama. Za kraj, pomenta je Ojlerova karakteristika površi, kao i slične teoreme za 3D i 4D.

Materijale sa predavanja možete preuzeti ovde.

Cilj predavanja “Mi se ne bojimo, učimo da brojimo” je bilo zasnivanje prirodnih brojeva pomoću Peanovih aksioma, a nakon toga formalno uvođenje prirodnih brojeva teorijom skupova. Zbog toga su obrađene neke od aksioma i njihove direktne posledice kao i demistifikacija nekih pojmova koja su se do sada mogli uzimati zdravo za gotovo, kao što je uređeni par, relacija, funkcija.

Prezentaciju sa predavanja možete preuzeti ovde.

Na ovom predavanju polaznici se upoznaju sa osnovama linearne algebre. Definišu se vektorski prostori i neka osnovna svojstva – potprostori, dimenzija prostora, span, linearna nezavisnost vektora. Sve vreme se povlači paralela sa vektorima u realnoj ravni, da bi polaznici dobili jasniju sliku i razvili osećaj o tome kako svi ovi pojmovi “izgledaju”. Zatim se uvodi pojam linearnog preslikavanja, definišu se matrice, proizvod matrice i vektora, proizvodi dve matrice, kao i neki pojmovi vezani za matrice kao što su rang i range.

Cilj predavanja je da se polaznici upoznaju sa nekim tradicionalnim problemima i pitanjima teorije konačnih projektivnih ravni, kao i sa raznim pokušajima da se ta pitanja razreše. Specijalno, jedan deo predavanja je posvećen i takozvanim latinskim kvadratima i njihovoj vezi sa problemom postojanja projektivnih ravni datog reda.

Polaznicima je kroz interesantan model predstavljena osnova teorije informacija i neocekivana primena nekih poznatih teorema u njoj. Model se sastojao od izvođenja različitih trikova sa kartama koji su se bazirali na prenosu informacija (pri raznim ograničenjima) od strane asistenta ka mađioničaru koji kasnije otkriva konfiguraciju (npr. kartu) koju je zamislio član publike. Kroz interesantne trikove (poput Cheney’s Five Card Trick) prikazane su različite tehnike kodiranja i povezanost sa Holovom teoremom.

Materijale možete preuzeti ovde.

Objekat zadajemo pozicijom i orijentacijom. Cilj je dovesti objekat iz početne pozicije i orijentacije u krajnju. Promena pozicije centra objekta se jednostavno rešava linearnom interpolacijom. Promena orijentacije je složenija i zavisi od toga kako je zadata.

Poziciju predstavljamo 3-dimenzionalnim vektorom. Orijentaciju možemo zadati Ojlerovim uglovima, ortogonalnom matricom, osom i uglom, ili kvaternionom.
Svaka od tih reprezentacija ima svoje prednosti i mane. Na primer, matrice se jednostavno komponuju, ali teško interpoliraju, dok se osa i ugao dobro interpolira, ali loše komponuje. Prednost kvaterniona je u tome što se lako komponuju i dobro interpoliraju.

Prezentaciju sa predavanja možete preuzeti ovde.

Grupe su jedan od centralnih pojmova moderne matematike. Na ovom predavanju je izložen uvod u teoriju dejstava grupa. Ukratko, prenosimo strukturu grupe na skup i ispitujemo odgovarajuće invarijante. Navodeni su bitni primeri poput konjugacije i antipodalnog dejstva (ekvivarijantna topologija) . Za kraj, dokazana je Bernsajdova lema, koja daje formulu za računanje broja orbita pri dejstvu konačne grupe na konačan skup.

Polaznici su podeljeni u 4 tima. Svaki tim dobija (postepeno) 20ak problema matematičko-logičko-kreativnog tipa poput kombinatornih problema, igranja matematičkih igrica, sečenja papira, slaganja slagalica, klasičnih zadataka, pretraživanja interneta, kreiranja konstrukcija itd. Da bi tim sakupio što više bodova neophodan je jak timski duh – precizna podela po problemima i odlična komunikacija.