Na početku se podsećamo presečnog broja grafa i crossing leme. Nakon toga prelazimo na glavni problem – traženje maksimalnog broja incidencija među m tačaka i n pravih. Dokazujemo Szemeredi – Trotter teoremu, koja daje odgovor na prethodni problem. Na kraju, rešavamo “suma proizvod problem” pomoću Szemeredi Trotter teoreme.

Broj različitih stanja Rubikove kocke do kojih možemo doći iznosi 43252003274489856000. Ako bismo za svako stanje napravili po jednu Rubikovu kocku, imali bismo ih dovoljno da pokrijemo Zemljinu površinu 275 puta.
Na ovom predavanju primenjujemo algebarske pojmove na Rubikovoj kocki. Podsećamo se osnovnih pojmova teorije grupa (grupa, podgrupa, red grupe, generatori, simetrična grupa), ali i saznajemo nešto novo o osobinama u vezi sa ovim pojmovima. Opisujemo osnovne elemenate Rubikove kocke, konstruišemo grupu Rubikove kocke i izračunavamo broj različitih stanja.
Prezentaciju možete pronaći ovde.

Na početku se upoznajemo sa Bajesovom formulom i Bajesovom teoremom. Podsećamo se osnovnih pojmova teorije verovatnoća i nekih bitnih raspodela. Drugi deo radionice posvećujemo uvodu u Bajesovsku statistiku, uvodimo pojmove apriorne i aposteriorne raspodele. Posle teorijskog uvoda rešavamo zadatke.

Na početku se podsećamo grupa, prstena, polja, tela i vektorskih prostora. U nastavku se detaljnije bavimo teorijom grupa, da bismo stigli do poznate klasovne jednačine. Zatim, povezujemo kompleksne brojeve sa grupama i navodimo osnovne osobine ciklotomičnih polinoma. U glavnom delu predavanja prelazimo na dokaz centralne teoreme koja tvrdi da ne postoje konačna tela koja nisu polja. Na kraju, je prikazana skica Kronekereove konstrukcije konačnih polja.

Na početku predavanja je zadat kombinatorni problem koji predstavlja motivaciju za uvođenje Šenonovog kapaciteta grafa. Takođe, uvedeni su pojmovi jakog proizvoda dva grafa i ortogonalne reprezentacije grafa. Prikazan je Lovasov kišobran kao jedna ortogonalna reprezentacija grafa C5. Dokazano je nekoliko lema koje opisuju vezu između navedenih pojmova i ističu njihova svojstva. Cilj predavanje je bilo određivanje Šenonovog kapaciteta za C5.

Na ovom predavanju se bavimo regularnim jezicima i izrazima. Primenjujemo Tompsonov i Gluškovljev algoritam kako bismo konstruisali nedeterministički konačni automat za dati regularni izraz i zatim ga transformišemo u odgovarajući deterministički konačni automat. Pričamo i o proširenim regularnim izrazima, kao i njihovoj primeni.

Beleške sa predavanja možete pronaći ovde.

Objašnjavamo zadatke sa prethodno održanog team buildinga.

Gedelove teoreme su najpoznatiji rezultati u matematičkoj logici. Upoznajemo se sa Peanovom formalnom aritmetikom i kodiranjem u prirodnim brojevima i Peanovoj aritmetici. Zatim, analiziramo dokaz Gedelove teoreme o nepotpunosti, pri čemu je akcenat stavljen na teoremu o dijagonalizaciji koja predstavlja srž ovih dokaza.


Prezentaciju sa predavanja možete pronaći ovde.

Pričamo o mašinskom učenju kroz probleme sa kojima se farmaceuti susreću. Bavimo se problemom klasifikacije i upoznajemo se sa vector support machine.

Šta je sve moguće platiti novčićima sa apoenima od npr. 3, 7 i 25 dinara? Uopštenje ovoga je poznato kao Frobenijusov problem.

Posmatramo kombinatornu i jednu geometrijsku interpretaciju ovog problema. Upoznajemo se sa generatornim funkcijama i pomoću kompleksnih brojeva i elementarne analize dolazimo do formule za broj predstavljanja prirodnog broja kao linearne kombinacije druga dva zadata. Kao trivijalne posledice te formule dobijamo Frobenijusovu i Silvesterovu teoremu.

Kroz predavanje demonstrirani su različiti tipovi algoritama i različiti pristupi programiranju sa osvrtom na primenu u bioinformatici. Obrađeni su poznati primeri iz algoritimike kao što su problem obrtanja palačinki, problem turiste u Menhetnu i problem vraćanja kusura. U trećem delu izlaganja napravljena je veza između sekvenciranja DNK i rezultata teorije grafova, koji su olakšali rešavanje problema.

Na početku predavanja prikazani su primeri nekih orijentabilnih i neorijentabilnih dvodimenzionih površi, smeštenih u trodimenzioni prostor. Objašnjena je razlika između unutarnje i spoljnje topologije. Uz koriščenje trijangulacije površi, izveden je dokaz o klasifikaciji prostih zatvorenih površi. U daljem toku predavanja, dokazana je poboljšana verzija teoreme, koja tvrdi da naša podela na površi homeomorfne sa sferama sa ručkama, uštinutim ručkama i uštinutim kapama, može da se svede na podelu sfere sa ručkama i uštinutim kapama. Za kraj, pomenta je Ojlerova karakteristika površi, kao i slične teoreme za 3D i 4D.

Na predavanju je istorijski ispraćen tok razvoja topologije kao nauke. Objašnjena je uloga invarijanti i kao jedna od bitnijih invarijanti izdvojena je fundamentalna grupa. Kroz primere je pokazano kako se ona računa za neke jednostavnije površi. Kao sledeći bitan aspekat, pomenuta su natkrivanja, a kao prvi primer navedena je spirala i kruga. Uvedena je veza između Ojlerove karakteristike i krivine preko prilično lepe i jednostavne formule. Takođe, pokazano je kako se može izračunati zbir uglova u trouglu na proizvoljnoj površi.

Prezentaciju sa predavanja možete pronaći ovde.